РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ «КРУГОВ ЭЙЛЕРА»

Рыбина Ангелина

Класс 5 «Д», МОУ «СОШ № 59 с УИП», РФ, г. Саратов

Багаева Ирина Викторовна

научный руководитель, педагог высшей категории, преподаватель математики, МОУ «СОШ № 59 с УИП», РФ, г. Саратов

«… круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления»

Леонард Эйлер

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

В 1741 году Эйлер пишет «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе...», где появились впервые «круги Эйлера». Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

С помощью этих кругов Эйлер изобразил и множество всех действительных чисел:

· N - множество натуральных чисел,

· Z - множество целых чисел,

· Q - множество рациональных чисел,

· R - множество всех действительных чисел.

Рисунок 1. Изображение множества действительных чисел

Что такое множество?

В математике нет точного определения этого понятия. Понятие «множество» не определяется, оно поясняется примерами: множество яблок в корзине; множество точек отрезка прямой. Множество состоит из элементов. В приведенных примерах - это яблоки, буквы, точки.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... K, M, N … Х, ...; элементы множества - строчными буквами алфавита: а, в, с, ... k, m, n … х, у, .... А={а; в; с; d} - множество А состоит из элементов а, в, с, d, или, говорят, что элемент а принадлежит множеству А, записывается: аА (знак читается: «принадлежит»). Элемент 5 не входит в множество А, говорят, что «5 не принадлежит А»: 5 А, или . Если множество В не содержит ни одного элемента, то говорят, что оно пустое, обозначается: В=.

Под множеством можно понимать совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества . Примерами множеств могут быть и дома на нашей улице, и алфавит - совокупность букв, и наш 5 «Д» класс - множество учеников.

Множества могут быть:

· Конечное (элементы которого можно пересчитать; например - множество цифр)

· Пустое (не содержащее ни одного элемента; например - множество зайцев, которые учатся в нашем классе).

Множество K называется подмножеством множества N, если каждый элемент множества K является элементом множества N. Обозначается: KÍN. Говорят, что множество K включается в множество N.

Подмножества можно проиллюстрировать кругами Эйлера.

Рисунок 2. Изображение подмножества

Действия с множествами

В математике существуют несколько операций над множествами. Мы разберем два из них: пересечение и объединение.

1. Пересечение множеств

Пересечением множеств M и N называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих M и N . Пересечение множеств M и N обозначается .

Пример. Множество N = { А Н Д Р Е Й };

множество K = { А Л Е К С Е Й }; множество M = { Д М И Т Р И Й }

Рисунок 3. Пример пересечения множеств

2. Объединение множеств

Объединение множеств - это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение множеств M и N обозначается .

Пример ; 2) объединение множества всех пород собак и множества мопсов есть множество всех собак.

Операции объединения и пересечения множеств очень удобно показывать с помощью кругов Эйлера.

По определению в пересечение двух множеств M и N входят элементы, принадлежащие множествам M и N одновременно

Пример. Пусть D - множество из 12 самых хороших девочек, M - множество из 12 самых умных мальчиков. Получили наш класс.

Рисунок 4. Пример объединения множеств

3. Вложенные множества.

Пример. Имеется три множества: «дети», «школьники», «учащиеся начальной школы». Мы видим, что эти 3 множества находятся одно внутри другого. Про множество, находящееся внутри другого множества, говорят, что оно вложенное.

Рисунок 5. Пример вложенных множеств

Задачи, которые можно решить с помощью диаграмм Эйлера

Задача № 1

На стол бросили две салфетки 10 см х 10 см. Они покрыли площадь стола, равную 168. Какова площадь перекрытия?

1)168 – 10 х 10 = 68;

2)10 х 10 – 68 = 32.

Ответ: 32 см

Рисунок 6. Рисунок к задаче № 1

Задача № 2

В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 %, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?

А - множество учеников, которые ходили в поход

В - множество учеников, которые были на экскурсии

100 % – 80 % = 20 %

60 % – 20 % = 40 %

Ответ: 40 %

Рисунок 7. Рисунок к задаче № 2

Задача № 3

В нашем классе 24 ученика. Все они хорошо провели зимние каникулы.10 человек катались на лыжах, 16 ездили на каток, а 12 - лепили снеговиков. Сколько учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика?

А - множество ребят, катающихся на лыжах

В - множество ребят, катающихся на коньках

С - множество ребят, лепивших снеговиков

Пусть х - число ребят,

которые успели за эти каникулы всё!

(12 - х) + (16 - х) + (10 - х) + х = 24

Ответ: 7 ребят

Рисунок 8. Рисунок к задаче № 3

Задача № 4

9 моих друзей любят бананы, 8 – апельсины, а 7 – сливы, 5 – бананы и апельсины, 3 – бананы и сливы, 4 – апельсины и сливы, 2 – бананы, апельсины и сливы. Сколько у меня друзей?

5 – 2 = 3 3 – 2 = 1 4 – 2 = 2

9 – 6 = 3 8 – 7 = 1 7 – 5 = 2

3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 14

Ответ: 14 друзей

Рисунок 9. Рисунок к задаче № 4

Задача № 5

В пионерском лагере «Дубки» в смене актива отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. 10 человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5 - отличниками и спортсменами, 8 - спортсменами и победителями олимпиад, 3 - и отличники, и спортсмены, и победители олимпиад.

Сколько ребят отдыхали в лагере?

А - множество отличников

В - множество победителей олимпиад

С - множество спортсменов

10 – 3 = 7 5 – 3 = 2 8 – 3 = 5

30 – 12 = 18 28 – 15 = 13 42 – 10 = 32

18 + 13 + 32 + 7 + 2 + 5 + 3 = 80

Ответ: 80 ребят

Рисунок 10. Рисунок к задаче № 5

3. Заключение

Диаграммы Эйлера - это общее название целого ряда способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях математики: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки, и др. Применение кругов Эйлера позволяет даже пятикласснику легко решать задачи, которые обычным путем решаются только в старших классах.

Список литературы:

1.Александрова Р.А., Потапов А.М. Элементы теории множеств и математической логики. Практикум / Калининград. 1997. - 66 с.

2.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. М.: Просвещение, 1999. с. 189-191, 231.

3.Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах: Пособие для учителей / Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А.Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993. - с. 42.

4.Занимательная математика. 5-11 классы. Как сделать уроки нескучными / Авт. сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005. - с. 32-38.

5.Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО Пресс, 2009. - с. 14-20.

6.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +, 2001. - с. 537-542.

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.

Происхождение термина

– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода - ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.

До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще давайте рассмотрим задачу , которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор ?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 - количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Леонард Эйлер (1707-1783) - известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.

Джон Венн (1834-1923) - английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Совместимые и несовместимые понятия

Под понятием в логике подразумевается форма мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов. Они обозначаются одним либо группой слов: «карта мира», «доминантовый квинтсептаккорд», «понедельник» и др.

В случае когда элементы объема одного понятия полностью или частично принадлежат объему другого, говорят о совместимых понятиях. Если же ни один элемент объема определенного понятия не принадлежит к объему другого, мы имеем место с несовместимыми понятиями.

В свою очередь, каждый из видов понятий имеет собственный набор возможных отношений. Для совместимых понятий это следующие:

• тождество (равнозначность) объемов;
• пересечение (частичное совпадение) объемов;
• подчинение (субординация).

Для несовместимых:

• соподчинение (координация);
• противоположность (контрарность);
• противоречие (контрадикторность).

Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.

Отношения равнозначности

В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоанализа.

А - квадрат;

В - равносторонний прямоугольник;

С - равноугольный ромб.

Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.

Пересечение (частичное совпадение)

А - педагог;

В - меломан.

Как видно из данного примера, объемы понятий частично совпадают: определенная группа педагогов может оказаться меломанами, и наоборот - среди меломанов могут быть представители педагогической профессии. Аналогичное отношение будет в случае, когда в А выступает, например, «горожанин», а в качестве В - «автоводитель».

Подчинение (субординация)

Схематически обозначаются как разные по масштабу круги Эйлера. Отношения между понятиями в данном случае характеризуются тем, что подчиненное понятие (меньшее по объему) полностью входит в состав подчиняющего (большего по объему). При этом подчиненное понятие не исчерпывает полностью подчиняющее.

Например:

А - дерево;

В - сосна.

Понятие В будет являться подчиненным по отношению к понятию А. Так как сосна относится к деревьям, то понятие А становится в данном примере подчиняющим, «поглощающим» объем понятия В.

Соподчинение (координация)

Отношение характеризует два и более понятия, исключающих друг друга, но принадлежащих при этом определенному общему родовому кругу. Например:

А - кларнет;

В - гитара;

С - скрипка;

D - музыкальный инструмент.

Понятия А, В, С не являются пересекающимися по отношению друг к другу, тем не менее, все они относятся к категории музыкальных инструментов (понятие D).

Противоположность (контрарность)

Противоположные отношения между понятиями подразумевают отнесенность данных понятий к одному и тому же роду. При этом одно из понятий обладает определенными свойствами (признаками), в то время как другое их отрицает, замещая противоположными по характеру. Таким образом, мы имеем дело с антонимами. Например:

А - карлик;

В - великан.

Круг Эйлера при противоположных отношениях между понятиями разделяется на три сегмента, первый из которых соответствует понятию А, второй - понятию В, а третий - всем остальным возможным понятиям.

Противоречие (контрадикторность)

В данном случае оба понятия представляют собой виды одного и того же рода. Как и в предыдущем примере, одно из понятий указывает на определенные качества (признаки), в то время как другое их отрицает. Однако, в отличие от отношения противоположности, второе, противоположное понятие, не заменяет отрицаемые свойства другими, альтернативными. Например:

А - сложная задача;

В - несложная задача (не-А).

Выражая объем понятий подобного рода, круг Эйлера разделяется на две части - третьего, промежуточного звена в данном случае не существует. Таким образом, понятия также являются антонимами. При этом одно из них (А) становится положительным (утверждающим какой-либо признак), а второе (В или не-А) - отрицательным (отрицающим соответствующий признак): «белая бумага» - «не белая бумага», «отечественная история» - «зарубежная история» и т. д.

Таким образом, соотношение объемов понятий по отношению друг к другу является ключевой характеристикой, определяющей круги Эйлера.

Отношения между множествами

Также следует различать понятия элементов и множества, объем которых отображают круги Эйлера. Понятие множества заимствовано из математической науки и имеет достаточно широкое значение. Примеры в логике и математике отображают его как некую совокупность объектов. Сами же объекты являются элементами данного множества. «Множество есть многое, мыслимое как единое» (Георг Кантор, основатель теории множеств).

Обозначение множеств осуществляется А, В, С, D… и т. д., элементов множеств - строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.

В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения множество решений уравнения х 2 = -5.

Решение задач

Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.

Использование кругов Эйлера нашло широкое практическое применение в разных отраслях. Например, в ситуации с профессиональным выбором. Если субъект озабочен выбором будущей профессии, он может руководствоваться следующими критериями:

W - что я люблю делать?

D - что у меня получается?

P - чем я смогу хорошо зарабатывать?

Изобразим это в виде схемы: в логике - отношение пересечения):

Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.

Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.

С данными множествами допустимо выполнение основных математических операций: сложение (сумма множеств элементов), вычитание (разность), умножение (произведение). Кроме того, благодаря диаграммам Эйлера-Венна можно проводить операции сравнения множеств по числу входящих в них элементов, не считая их.

При решении многих задач, связанных с множествами, незаменимым оказывается приём, основанный на использовании так называемых «кругов Эйлера». Эти диаграммы впервые появились в работах одного из величайших математиков в истории Леонарда Эйлера, который в течение продолжительного времени жил и работал в России и был членом Петербургской академии наук. Использование кругов Эйлера добавляет наглядности при решении сложных задач, делая многие вещи буквально очевидными. Предлагаю вам в этом убедиться самостоятельно на примере решения следующей задачи.

Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера

Тут нужно понимать, что если сказано, что «42 человека используют метро», то это вовсе не означает, что кроме метро они не используют никаких других видов транспорта. Кто-нибудь из них может быть и использует. Может быть ещё какой-то один вид транспорта, трамвай или автобус. А может и сразу оба! Вопрос задачи как раз и состоит в том, чтобы посчитать людей, которые используют все три вида транспорта.

С первого взгляда даже непонятно, с чего начинать решение. Но если немного поразмыслить, становится ясно, что действовать нужно по следующему алгоритму. Будем стараться расписать всех людей (58 человек) через известные из условия данные. Нам известно, что автобус используют 44 человека. Прибавим к этому количество людей, которые используют метро. Их всего 42 человек. С помощью кругов Эйлера эту операцию можно изобразить наглядно в следующем виде:

То есть пока что мы имеем дело с выражением 58 = 44 + 42… Знак «…» означает, что выражение ещё не закончено. Проблема в том, что мы посчитали людей на пересечении этих кругов дважды. Соответствующая область на диаграмме выделена тёмно-зелёным цветом. Поэтому один раз их нужно вычесть. Это люди, которые пользуются автобусом и метро. Их, как известно, 31. То есть наше «неоконченное» выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31… И на диаграмме при этом пропадает тёмно-зелёный цвет:

Пока всё хорошо. Прибавляем теперь людей, которые ездят на трамвае. Таких людей 32. Выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32… Диаграмма с кругами Эйлера, в свою очередь, становится следующей:

К счастью в незакрашенной области как раз и находятся те люди, число которых нам нужно посчитать. Действительно, эти бедняги используют ежедневно все три вида транспорта для того, чтобы добраться до работы, ведь они находятся на пересечении всех трёх множеств. Обозначим количество этих бедолаг за . Тогда диаграмма примет следующий вид:

А уравнение станет следующим:

Расчёты дают . Это и есть ответ к задаче. Столько людей используют все три вида транспорта каждый день, чтобы добраться на работу.

Вот такое вот простое решение. Фактически, в одно уравнение. Просто удивительно, не правда ли?! А теперь представьте, как пришлось бы решать эту задачу без использования кругов Эйлера. Это было бы настоящее мучение. Так что в очередной раз убеждаемся, что любые методы визуализации чрезвычайно полезны при решении задач по математике. Используйте их, это поможет вам в решении сложных задач как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах по математике в лицеи и вузы.

Чтобы проверить, хорошо ли вы поняли решение данной задачи, ответьте на следующие вопросы:

1. Сколько человек используют только один вид транспорта для того, чтобы добраться до работы?
2. Сколько человек используют для этого ровно два вида транспорта?

Свои ответы и варианты решения присылайте в комментариях.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Леонард Эйлер Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). (1707 г.-1783 г.)

3 слайд

Описание слайда:

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

4 слайд

Описание слайда:

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

5 слайд

Описание слайда:

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел. Ну а как же круги Эйлера помогают при решении задач? R Q Z N

6 слайд

Описание слайда:

Круги Эйлера Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

7 слайд

Описание слайда:

Круги ЭЙЛЕРА - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

8 слайд

Описание слайда:

9 слайд

Описание слайда:

Решение задач "Обитаемый остров" и "Стиляги" Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

10 слайд

Описание слайда:

Решение Чертим два множества таким образом: 6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». Получаем: Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги». 6 «обитаемый остров» «Стиляги» «обитаемый остров» «Стиляги» 9 6 5

11 слайд

Описание слайда:

«Мир музыки» В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? Решение Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

12 слайд

Описание слайда:

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры: Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

13 слайд

Описание слайда:

Рассмотрение простейших случаев кругов Эйлера – Венна а) Пусть дано некоторое множество и указано свойство А. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать данным свойством. Поэтому данное множество распадается на две части, которые можно обозначить через А и А*. На рисунке можно это изобразить двумя способами. Большой круг изображает данное множество, маленький круг А – ту часть элементов данного множества, которое обладает свойством А, а кольцеобразная часть А* – ту часть элементов, которые не обладают свойством А.

14 слайд

Описание слайда:

б) Пусть дано некоторое множество и указаны два свойства: А, В. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ*, А*В, А*В*. Следовательно, данное множество распадается на 4 подмножества. Это можно изобразить также двумя способами: в виде кругов или диаграмм. На первом рисунке круг А – это подмножество тех элементов данного множества, которые обладают свойством А, а область вне круга, т.е. область А*, - это подмножество тех элементов, которые свойством А не обладают. Аналогично круг В и область вне его. На втором рисунке подмножества А, А*, В*, В изображены по-другому: подмножество А – это область слева от вертикально черты, а подмножество А* - это область справа от этой черты. Аналогично изображены В и В*: область В – это верхний полукруг, а область В* - это нижний полукруг.

15 слайд

Описание слайда:

в) Пусть дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В, С. В этом случае данное множество распадается на восемь частей. Это можно изобразить двумя способами.

16 слайд

Описание слайда:

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера Задача №1. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3? Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.

17 слайд

Описание слайда:

Задача № 2. Задача, решаемая с помощью диаграммы Эйлера – Венна. Ребятам поручили изготовить кубики. Несколько кубиков сделали из картона, а остальные из дерева. Кубики были двух размеров: большие и маленькие. Часть из них покрасили в зеленый цвет, другую – в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых кубиков большого размера было 6. Больших зеленых из картона было 4. Красных кубиков из картона было 8,красных кубиков из дерева – 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11. Сколько же всего получилось кубиков? Решение. Выполняем рисунок.

18 слайд

Описание слайда:

Составление задач, имеющих практическое значение. Задача 1. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой. Решение: Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 - 16=19, из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога (12-10=2) увлекаются математикой. Ответ: 2 биолога. С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи. Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим круги поменьше. Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологи-математики, о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри большого круга 35 учеников, внутри кругов М и Б: 35-16=19 учеников, внутри круга М - 12 ребят, значит, в той части круга Б, которая не имеет ничего общего с кругом М, находится 19-12=7 учеников, следовательно, в МБ находится 2 ученика (9-7=2). Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой. 1)35-16=19(чел.); 2) 12+9=21 (чел.); 3)21-19=2(чел.). Ответ: 2 биолога.

19 слайд

Описание слайда:

Заполняем диаграмму. 1) Надо начинать с того подмножества, для которого указаны три свойства. Это большие зеленый кубики из картона – таких кубиков 4. 2) Далее ищем подмножества, для которого указаны два свойства из перечисленных трех. Это большие зеленые кубики – 6. Но это подмножество состоит из картонных и деревянных. Картонных было 4. Значит, деревянных 6-4=2. 3) Больших деревянных кубиков 7. Из них зеленых – 2. Значит, красных будет 7-2=5. 4) Красных деревянных кубиков 9., из них 5 – большие. Значит, маленьких красных кубиков из дерева будет 9-5=4. 5) Маленьких деревянных кубиков 11. Из них красных – 4. Значит, маленьких зеленых кубиков из дерева 11-4=7. 6) Всего зеленых кубиков 16. Зеленые кубики помещены в кольцеобразную часть, состоящую из четырех частей. Значит, маленьких зеленых кубиков из картона 16-(4+2+7)=3. 7) Осталось последнее условии: красных кубиков из картона было 8. Нам и не надо узнать, сколько из них маленьких, сколько больших. 8) Считаем: 2+5+8+4+4+7+3=33. Ответ: всего было изготовлено 33 кубика.

22 слайд

Описание слайда:

«Математическая энциклопедия». Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://minisoft.net.ru/ http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html http://reshizadachu.ucoz.ru/index/krugi_ehjlera/0-18